贝叶斯滤波

概率

假设测量数据用\(\boldsymbol{z}_t\)表示，控制数据用\(\boldsymbol{u}_t\)表示，状态数据用\(\boldsymbol{x}_t\)表示状态

机器人的先验概率为：

\[ \overline{\text{bel}}(\boldsymbol{x}_t)=p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{z}_{1:t-1},\boldsymbol{u}_{1:t}) \]

后验概率为：

\[ \text{bel}(\boldsymbol{x}_t)=p(\boldsymbol{x}_t|\boldsymbol{z}_{1:t},\boldsymbol{u}_{1:t}) \]

其中\(\boldsymbol{z}_{1:t}\)代表从\(1\)到\(t\)时刻的测量

通常第一个概率称为预测，第二个概率称为修正或测量更新

对于概率来说，连续情况下计算：

\[ P(x|u)=\int P(x|u,x')P(x')dx' \]

离散情况下计算：

\[ P(x|u)=\sum P(x|u,x')P(x') \]

贝叶斯法则

\[ \begin{align} P(x|z)&=\frac{P(z|x)P(x)}{P(z)}\longrightarrow 后验概率=\frac{似然值 \cdot 先验概率}{证据} \\ &=\frac{P(z|x)P(x)}{P(x)P(z|x)+P(\overline{x})P(z|\overline{x})} \end{align} \]

例子

P(x)=0.01/100; // 携带HIV概率
P(~x)=1-P(x)=99.99/100 //不携带HIV概率
P(z|x)=99.9/100; // 携带HIV条件下测出阳性的概率
P(z|~x)=0.01/100; // 不携带HIV条件下测出阳性的概率
P(x|z)=P(x)P(z|x)/(P(x)P(z|x)+P(~x)P(z|~x))=0.01*99.9/(0.01*99.9+99.99*0.01)=0.5 // 检测到阳性真的携带HIV的概率

贝叶斯滤波框架

给定：

测量数据集\(z\)和动作（控制）数据集\(u\)

\[ d_t=\{u_1,z_1,\cdots,u_t,z_t\} \]

传感器模型\(P(z|x)\)
控制模型\(P(x|u,x')\)，\(x'\)代表上一次状态
系统状态先验概率\(P(x)\)

得到：

动态系统的估计状态\(x\)
状态的后验概率也被称为Belief（信念）

\[ \text{bel}(x_t)=P(x_t|u_1,z_1,\cdots,u_1,z_1) \]

马尔可夫假设

基本假设

静态世界
独立噪声
完美的模型，没有近似误差

贝叶斯滤波

全概率公式：

\[ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A}) \]

推导贝叶斯滤波公式：

\[ \begin{align} \text{bel}(x_t)&=P(x_t|u_{1:t},z_{1:t})\\ &=\eta P(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})P(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t}) \quad 贝叶斯\\ &=\eta P(z_t|x_t)P(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t}) \quad 马尔可夫 \\ &=\eta P(z_t|x_t)\int P(x_t|x_{1:t-1},u_{1:t},z_{1:t-1})P(x_{t-1}|u_{1:t},z_{1:t-1})dx_{t-1} \quad 全概率公式 \\ &=\eta P(z_t|x_t)\int P(x_t|x_{t-1},u_{t})P(x_{t-1}|u_{1:t},z_{1:t-1})dx_{t-1} \quad 马尔可夫 \\ &=\eta P(z_t|x_t)\int P(x_t|x_{t-1},u_{t})P(x_{t-1}|u_{1:t-1},z_{1:t-1})dx_{t-1} \quad 马尔可夫,u_{t}不影响x_{t-1} \\ &=\eta P(z_t|x_t)\int P(x_t|x_{t-1},u_{t})\text{bel}(x_{t-1})dx_{t-1} \end{align} \]

\(P(x_t|x_{t-1},u_t)\)为状态转移概率，\(P(z_t|x_t)\)为测量概率

算法

\[ \begin{align} &\text{bayes\_filter}(\space\text{bel}(x), d\space): \\ &\hspace{4ex}\eta=0 \\ &\hspace{4ex}如果\space d\space为感知数据\space z\space, 那么 \\ &\hspace{8ex}对于所有\space x \\ &\hspace{12ex}\overline{\text{bel}}(x)=P(z|x)\text{bel}(x)\\ &\hspace{12ex}\eta=\eta+\overline{\text{bel}}(x)\\ &\hspace{8ex}对于所有\space x \\ &\hspace{12ex}\overline{\text{bel}}(x)=\eta^{-1}\overline{\text{bel}}(x)\\ &\hspace{4ex}否则如果\space d \space 为控制数据\space u \space，那么 \\ &\hspace{8ex}对于所有\space x \\ &\hspace{12ex}\overline{\text{bel}}(x)=\int P(x|u,x')\text{bel}(x')dx' \\ &\hspace{4ex}返回 \space \overline{\text{bel}}(x) \end{align} \]